Question

【題目】已知函數 .
（1）求函數 的單調區間和極值；
（2）是否存在實數 ,使得函數 在 上的最小值為 ？若存在，求出 的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知， .

由 得 ，解得 ，所以函數 的單調增區間是 ；

由 得 ，解得 ，所以函數 的單調減區間是 . 當 時，函數 有極小值為

（2）解：由（1）可知，當 時， 單調遞減，當 時， 單調遞增.

①若 ，即 時，函數 在 上為增函數，故函數 的最小值為 ，顯然 ，故不滿足條件.

②若 ，即 時，函數 在 上為減函數，在 上為增函數，故函數 的最小值為 ，即 ，解得 ，而 ，故不滿足條件.

③若 ，即 時，函數 在在 上為減函數，故函數 的最小值為 ，即 ，而 不滿足條件，綜上所述，這樣的 不存在

【解析】(1)根據題意求出原函數的導函數再利用導函數的正負得出原函數的增減性。(2)首先求出原函數的導函數由導函數大于零解出x的取值范圍然后對a分三種情況討論，再利用f ( x ) 在 [ 1 , e ] 上的最小值為 0求出a的值即可。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．