Question

14．在△ABC中，$\frac{sinA}{sinB}=2，BCcosB+ACcosA=1$，則有如下說法：①AB=1；②△ABC面積的最大值為$\frac{1}{3}$；③當(dāng)△ABC面積取到的最大值時(shí)，$AC=\frac{2}{3}$；則上述說法正確的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 0個(gè)
• B． 1個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 3個(gè)

Answer 1

分析 由正弦定理和余弦定理可得，a=2b，c=1．再由三角形的面積公式，化簡整理，配方，運(yùn)用二次函數(shù)的最值可得面積的最大值，即可判斷正確個(gè)數(shù)．

解答 解：在△ABC中，$\frac{sinA}{sinB}=2，BCcosB+ACcosA=1$，
可得a=2b，b•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=c=1，
即AB=1；
設(shè)b=x，則a=2x，根據(jù)面積公式得S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=x²•sinC=x²•$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$．
由余弦定理可得cosC=$\frac{5{x}^{2}-1}{4{x}^{2}}$，
∴S_△ABC=x²•$\sqrt{1-（\frac{5{x}^{2}-1}{4{x}^{2}}）^{2}}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{-9{x}^{4}+10{x}^{2}-1}$
=$\frac{1}{4}$$\sqrt{-9（{x}^{2}-\frac{5}{9}）^{2}+\frac{16}{9}}$，
由三角形三邊關(guān)系有：x+2x＞1且x+1＞2x，解得$\frac{1}{3}$＜x＜1，
故當(dāng)x=$\frac{\sqrt{5}}{3}$時(shí)，S_△ABC取得最大值$\frac{1}{3}$，
綜上可得①②正確，③錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查三角形的正弦定理和余弦定理，以及三角形的面積公式的運(yùn)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．