Question

19．若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=0$，$|{\overrightarrow{AB}}|=1$，$|{\overrightarrow{BC}}|=2$，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{DC}=0$，則$|{\overrightarrow{BD}}|$的最大值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據題意可得AB⊥BC，AD⊥DC．因此四邊形ABCD內接于圓O．可得|$\overrightarrow{BD}$|的最大值為直徑AC

解答 解：如圖所示：∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=0$，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{DC}=0$，
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{DC}$，
∴四邊形ABCD內接于圓O．
可得⊙O的直徑AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
則|$\overrightarrow{BD}$|的最大值為直徑$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$

點評 本題考查了圓的內接四邊形、數量積運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．