Question

（2013•北京）直線y=kx+m（m≠0）與橢圓W：

x2

4

+y2=1相交于A，C兩點，O是坐標原點．
（Ⅰ）當點B的坐標為（0，1），且四邊形OABC為菱形時，求AC的長；
（Ⅱ）當點B在W上且不是W的頂點時，證明：四邊形OABC不可能為菱形．

Answer 1

分析：（I）先根據條件得出線段OB的垂直平分線方程為y=

1

2

，從而A、C的坐標為（±

3

，

1

2

），根據兩點間的距離公式即可得出AC的長；
（II）欲證明四邊形OABC不可能為菱形，只須證明若OA=OC，則A、C兩點的橫坐標相等或互為相反數．設OA=OC=r，則A、C為圓x²+y²=r²與橢圓W：

x2

4

+y2=1的交點，從而解得

3x2

4

=r2-1，則A、C兩點的橫坐標相等或互為相反數．于是結論得證．

解答：解：（I）∵點B的坐標為（0，1），當四邊形OABC為菱形時，AC⊥OB，而B（0，1），O（0，0），
∴線段OB的垂直平分線為y=

1

2

，
將y=

1

2

代入橢圓方程得x=±

3

，
因此A、C的坐標為（±

3

，

1

2

），如圖，
于是AC=2

3

．
（II）欲證明四邊形OABC不可能為菱形，利用反證法，假設四邊形OABC為菱形，則有OA=OC，
設OA=OC=r，則A、C為圓x²+y²=r²與橢圓W：

x2

4

+y2=1的交點，
故

3x2

4

=r2-1，x²=

4

3

（r²-1），則A、C兩點的橫坐標相等或互為相反數．
從而得到點B是W的頂點．這與題設矛盾．
于是結論得證．

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，直線與橢圓的位置關系，考查等價轉化思想，屬于基礎題．