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(2013•北京)直線y=kx+m(m≠0)與橢圓W:
x24
+y2=1
相交于A,C兩點,O是坐標原點.
(Ⅰ)當點B的坐標為(0,1),且四邊形OABC為菱形時,求AC的長;
(Ⅱ)當點B在W上且不是W的頂點時,證明:四邊形OABC不可能為菱形.
分析:(I)先根據條件得出線段OB的垂直平分線方程為y=
1
2
,從而A、C的坐標為(±
3
,
1
2
),根據兩點間的距離公式即可得出AC的長;
(II)欲證明四邊形OABC不可能為菱形,只須證明若OA=OC,則A、C兩點的橫坐標相等或互為相反數.設OA=OC=r,則A、C為圓x2+y2=r2與橢圓W:
x2
4
+y2=1
的交點,從而解得
3x2
4
=r2-1
,則A、C兩點的橫坐標相等或互為相反數.于是結論得證.
解答:解:(I)∵點B的坐標為(0,1),當四邊形OABC為菱形時,AC⊥OB,而B(0,1),O(0,0),
∴線段OB的垂直平分線為y=
1
2
,
將y=
1
2
代入橢圓方程得x=±
3
,
因此A、C的坐標為(±
3
1
2
),如圖,
于是AC=2
3

(II)欲證明四邊形OABC不可能為菱形,利用反證法,假設四邊形OABC為菱形,則有OA=OC,
設OA=OC=r,則A、C為圓x2+y2=r2與橢圓W:
x2
4
+y2=1
的交點,
3x2
4
=r2-1
,x2=
4
3
(r2-1),則A、C兩點的橫坐標相等或互為相反數.
從而得到點B是W的頂點.這與題設矛盾.
于是結論得證.
點評:本題主要考查了橢圓的簡單性質,直線與橢圓的位置關系,考查等價轉化思想,屬于基礎題.
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lnxx
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