Question

（2013•北京）設(shè)l為曲線C：y=

lnx

x

在點(diǎn)（1，0）處的切線．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）證明：除切點(diǎn)（1，0）之外，曲線C在直線l的下方．

Answer 1

分析：（I）求出切點(diǎn)處切線斜率，代入代入點(diǎn)斜式方程，可以求解
（II）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而分析出函數(shù)圖象的形狀，可得結(jié)論．

解答：解：（I）∵y=

lnx

x

∴y′=

1-lnx

x2

∴l(xiāng)的斜率k=y′|_x=1=1
∴l(xiāng)的方程為y=x-1
證明：（II）令f（x）=x（x-1）-lnx，（x＞0）
則f′（x）=2x-1-

1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，又f（1）=0
∴x∈（0，1）時，f（x）＞0，即

lnx

x

＜x-1
x∈（1，+∞）時，f（x）＞0，即

lnx

x

＜x-1
即除切點(diǎn)（1，0）之外，曲線C在直線l的下方

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．