Question

已知拋物線：y²=2px（p＞0）的焦點F在上雙曲線：

x2

3

-

y2

6

=1的右準線上，拋物線與直線l：y=k（x-2）（k≠0）交于A、B兩點，AF、BF的延長線與拋物線交于C、D兩點．
（1）求拋物線的方程；
（2）求證：直線CD恒過一定點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得拋物線：y²=2px（p＞0）的焦點F（1，0），由此能求出拋物線的方程．
（2）設A（

y12

4

，y₁），B（

y22

4

，y₂），由

y2=4x y=k(x-2)

，得ky²-4y-8k=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量知識能求出CD直線恒過定點．

解答： （1）解：∵雙曲線：

x2

3

-

y2

6

=1的右準線的方程為x=1，
拋物線：y²=2px（p＞0）的焦點F在上雙曲線：

x2

3

-

y2

6

=1的右準線上，
∴焦點F（1，0），
∴拋物線的方程為y²=4x．
（2）證明：設A（

y12

4

，y₁），B（

y22

4

，y₂），
由

y2=4x y=k(x-2)

，得ky²-4y-8k=0，
△=16+32k²＞0，y1+y2=

4

k

，y₁y₂=-8，
設C（

y32

4

，y₃），則

FA

=（

y12

4

-1，y1），

FC

=(

y32

4

-1，y3)，
∵A，F，C共線，∴(

y12

4

-1)y3-y1(

y32

4

-1)=0，
∴(y1-y3)(

y1y3

4

+1)=0，
解得y₃=y₁（舍），或y3=-

4

y1

，
∴C（

4

y12

，-

4

y1

），同理，D（

4

y22

，-

4

y2

），
∴CD的方程為y+

4

y1

=

- 4 y1 + 4 y2

4 y12 - 4 y22

（x-

4

y12

），
即y=-

y1y2

y1+y2

x-

4

y1+y2

，即y=2k（x-

1

2

），
故CD直線恒過定點（

1

2

，0）．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查直線恒過定點的證明，解題時要認真審題，注意雙曲線、拋物線、直線方程等知識點的合理運用．