Question

拋物線M：y²=2px（p＞0）的準線過橢圓N：

4x2

5

+y²=1的左焦點，以原點為圓心，以t（t＞0）為半徑的圓分別與拋物線M在第一象限的圖象以及y軸的正半軸相交于點A和B，直線AB與x軸相交于點C．
（Ⅰ）求拋物線M的方程；
（Ⅱ）設點A的橫坐標為a，點C的橫坐標為c，拋物線M上點D的橫坐標為a+2，求直線CD的斜率．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓方程求出橢圓左焦點坐標，得到拋物線準線方程，從而求得p值，則拋物線方程可求；
（Ⅱ）寫出A的坐標，由|OA|=t列式求得t與A的坐標間的關系，求出直線BC的方程，把A代入BC方程，得到a，c的關系，然后直接代入斜率公式求直線CD的斜率．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓N：

4x2

5

+y²=1，
∴c²=a²-b²=

5

4

-1=

1

4

，
∴橢圓的左焦點為F₁（-

1

2

，0），
∴-

p

2

=-

1

2

，則p=1．
故M：y²=2x；
（Ⅱ）由題意知，A（a，2a），
∵|OA|=t，
∴a²+2a=t²．
由于t＞0，故有t=

a2+2a

①
由點B（0，t），C（c，0）的坐標知，
直線BC的方程為

x

c

+

y

t

=1．
又∵A在直線BC上，故有

a

c

+

2a

t

=1．
將①代入上式，得：

a

c

+

2a

a2+2a

=1，解得c=a+2+

2(a+2)

．
又∵D（a+2，2

2(a+2)

），
∴直線CD的斜率為：
k_CD=

2(a+2)

a+2-c

=

2(a+2)

a+2-(a+2+ 2(a+2) )

=

2(a+2)

- 2(a+2)

=-1．

點評：本題主要拋物線方程的求法，考查了直線與圓錐曲線位置關系的應用，解答此題的關鍵是對拋物線定義的靈活應用，是高考試卷中的壓軸題．