Question

已知函數f（x）的定義域為R，若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數，則f（x+3）是

 

．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：首先由奇函數性質求f（x）的周期，然后利用此周期推導出結果

解答： 解：∵f（x+1）與f（x-1）都是奇函數，
∴函數f（x）關于點（1，0）及點（-1，0）對稱，
∴f（x）+f（2-x）=0，f（x）+f（-2-x）=0，
故有f（2-x）=f（-2-x），
函數f（x）是周期T=[2-（-2）]=4的周期函數．
∴f（-x-1+4）=-f（x-1+4），
f（-x+3）=-f（x+3），
f（x+3）是奇函數．
故答案為：奇函數

點評：本題主要考查奇函數性質的靈活運用，并考查函數周期的求法．