Question

13．已知函數$f（x）=\frac{a}{x}+lnx-1，a∈R$．
（1）若曲線y=f（x）在P（1，f（1））處的切線平行于直線y=-x+1，求函數y=f（x）的單調區間；
（2）若a＞0，且對任意x∈（0，2e]時，f（x）＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，得到關于a的方程，求出a的值，求出函數的單調區間即可；
（2）問題轉化為$\frac{a}{x}+lnx-1＞0$對x∈（0，2e]恒成立，即a＞x（1-lnx）對x∈（0，2e]恒成立，設g（x）=x（1-lnx）=x-xlnx，x∈（0，2e]，根據函數的單調性證明即可．

解答 解：（1）直線y=-x+1的斜率為-1，
函數y=f（x）的導數為$f'（x）=-\frac{a}{x^2}+\frac{1}{x}$…（2分）
所以f'（1）=-a+1=-1，
所以a=2…..（3分）
因為y=f（x）的定義域為（0，+∞），
又$f'（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-2}{x^2}$…（4分）
當x∈（2，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數，
當x∈（0，2）時，f'（x）＜0，f（x）為減函數，
綜上，函數f（x）的單調增區間是（2，+∞），單調減區間是（0，2）…（6分）
（2）因為a＞0，且對任意x∈（0，2e]時，f（x）＞0恒成立，
即$\frac{a}{x}+lnx-1＞0$對x∈（0，2e]恒成立，
即a＞x（1-lnx）對x∈（0，2e]恒成立                   …..（7分）
設g（x）=x（1-lnx）=x-xlnx，x∈（0，2e]，
所以g'（x）=1-lnx-1=lnx，
當x∈（0，1）時，g'（x）＞0，g（x）為增函數，
當x∈（1，2e]時，g'（x）＜0，g（x）為減函數，
所以當x=1時，函數g（x）在x∈（0，2e]上取得最大值  …（10分）
所以g（x）≤g（1）=1-ln1=1，
所以實數a的取值范圍（1，+∞）…..（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．