Question

5．已知函數f（x）=log_a（a^x-1）（ a＞0，a≠1 ）
（1）討論函數f（x）的定義域；
（2）當a＞1時，解關于x的不等式：f（x）＜f（1）；
（3）當a=2時，不等式f（x）-log₂（1+2^x）＞m對任意實數x∈[1，3]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a^x-1＞0，得a^x＞1 下面分類討論：當a＞1時，x＞0；當0＜a＜1時，x＜0即可求得f（x）的定義域
（2）根據函數的單調性解答即可；
（3）令g（x）=f（x）-log₂（1+2^x）=log₂（1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}）$在[1，3]上是單調增函數，只需求出最小值即可．

解答 解：（1）由a^x-1＞0，得a^x＞1．（1分）
當a＞1時，x＞0；（2分）
當0＜a＜1時，x＜0．（3分）
所以f（x）的定義域是當a＞1時，x∈（0，+∞）；當0＜a＜1時，x∈（-∞，0）．（4分）
（2）當a＞1時，任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，（5分）
則ax1＜ax2，所以ax1-1＜ax2-1．（6分）
因為a＞1，所以loga（ax1-1）＜loga（ax2-1），即f（x₁）＜f（x₂）．（8分）
故當a＞1時，f（x）在（0，+∞）上是增函數．
∵f（x）＜f（1）；
∴a^x-1＜a-1，
∵a＞1，
∴x＜1；
（3）∵令g（x）=f（x）-log₂（1+2^x）=log₂（1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}）$在[1，3]上是單調增函數，
∴g（x）_min=-log₂3，
∵m＜g（x），
∴m＜-log₂3．

點評 本題主要考查對數函數有關的定義域、單調性、值域的問題，屬于中檔題．