Question

4．已知x滿足$\sqrt{3}≤{3^x}≤9$．
（1）求 x 的取值范圍；
（2）求函數$y=（{log_2}^x-1）（{log_2}^x+3）$的值域．

Answer 1

分析 （1）直接由指數函數的單調性，求得x的取值范圍；
（2）由（1）中求得的x的范圍，得到log₂x的范圍，令t=log₂x換元，再由二次函數的圖象和性質求得函數$y=（{log_2}^x-1）（{log_2}^x+3）$的值域．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}≤{3^x}≤9$，
∴${3^{\frac{1}{2}}}≤{3^x}≤{3^2}$，
由于指數函數y=3^x在R上單調遞增，
∴$\frac{1}{2}≤x≤2$；
（2）由（1）得$\frac{1}{2}≤x≤2$，
∴-1≤log₂x≤1，
令t=log₂x，則y=（t-1）（t+3）=t²+2t-3，其中t∈[-1，1]，
∵函數y=t²+2t-3開口向上且對稱軸為t=-1，
∴函數y=t²+2t-3在t∈[-1，1]上單調遞增，
∴y的最大值為f（1）=0，最小值為f（-1）=-4．
∴函數y=（log₂x-1）（log₂x+3）的值域為[-4，0]．

點評 本題考查指數不等式的解法，訓練了函數值域的求法，屬中檔題．