Question

10．某公園內直線道路旁有一半徑為10米的半圓形荒地（圓心O在道路上，AB為直徑），現要在荒地的基礎上改造出一處景觀．在半圓上取一點C，道路上B點的右邊取一點D，使OC垂直于CD，且OD的長不超過20米．在扇形區域AOC內種植花卉，三角形區域OCD內鋪設草皮．已知種植花卉的費用每平方米為200元，鋪設草皮的費用每平方米為100元．
（1）設∠COD=x（單位：弧度），將總費用y表示為x的函數式，并指出x的取值范圍；
（2）當x為何值時，總費用最低？并求出最低費用．

Answer 1

分析 （1）根據扇形面積公式和三角形面積公式寫出函數y的解析式；
（2）利用導數判斷函數的單調性，求出函數y的最小值以及對應x的值．

解答 解：（1）因為扇形AOC的半徑為10 m，∠AOC=π-x（rad），
所以扇形AOC的面積為
${S_{扇AOC}}=\frac{{（π-x）•1{0^2}}}{2}=50（π-x）$，$0＜x≤\frac{π}{3}$；…（3分）
在Rt△COD中，OC=10，CD=10tanx，
所以△COD的面積為
S_△COD=$\frac{1}{2}$•OC•CD=50tanx；…（5分）
所以y=100S_△COD+200S_扇形AOC=5000（tanx+2π-2x），$0＜x≤\frac{π}{3}$；…（8分）
（注：沒有x的范圍，扣1分）
（2）設$f（x）=tanx+2π-2x，0＜x≤\frac{π}{3}$，
則$f（x）=\frac{sinx}{cosx}+2π-2x$，
$f'（x）=\frac{{{{cos}^2}x+{{sin}^2}x}}{{{{cos}^2}x}}-2=\frac{{1-2{{cos}^2}x}}{{{{cos}^2}x}}$，
令f'（x）=0，解得$x=\frac{π}{4}$，…（11分）
從而當$0＜x＜\frac{π}{4}$時，f'（x）＜0；
當$\frac{π}{4}＜x＜\frac{π}{3}$，f′（x）＞0；
因此f（x）在區間$（0，\frac{π}{4}）$上單調遞減；在區間$（\frac{π}{4}，\frac{π}{3}）$上單調遞增；
當$x=\frac{π}{4}$時，f（x）取得最小值，
且$f（\frac{π}{4}）=1+2π-\frac{π}{2}=1+\frac{3π}{2}$；…（14分）
所以y的最小值為（5000+7500π）元； …（15分）
答：當$x=\frac{π}{4}$時，改造景觀的費用最低，最低費用為（5000+7500π）元．     …（16分）

點評 本題考查了函數模型的應用問題，也考查了利用導數求函數的單調性與最值問題，是綜合性題目．