Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=90°，D是PA的中點，二面角P-AC-B為120°，PC=2，AB=2

3

，取AC的中點O為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖所示，BD交z軸于點E．
（1）求B、D、P三點的坐標；
（2）求BD與地面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,空間中的點的坐標

專題：空間角,坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）首先利用建立的空間直角坐標系，即三角形的邊角關系，二面角求出相關的線段長，進一步求出空間坐標．
（2）利用（1）的結論首先求出線面的夾角，進一步利用相關的運算求出結果．

解答： 解：建立空間直角坐標系O-xyz，
由于：△ABC是正三角形，AB=2

3

則：AO=OC=

3

，OB=3，
又∠PCA=90°，D是PA的中點，PC=2，
則：BD=1
二面角P-AC-B為120°，過D做DE⊥平面ABC，過P點做PF⊥平面ABC
得到DE=

3

2

，OE=

1

2

，PF=

3

，CF=1
所以求得B（-

1

2

，0，

3

2

），B（3，0，0），P（-1，

3

，

3

）
（2）利用（1）的結論：∠DBE是BD與地面ABC所成角．
利用余弦定理解得：BD=

13

2

，BE=

7

2

則：cos∠DBE=

BE

BD

=

7 13

13

所以：BD與地面ABC所成角的余弦值為：

7 13

13

點評：本題考查的知識要點：空間直角坐標系，線面的夾角，二面角的應用．屬于基礎題型．