Question

12．設集合A={x|ax²+bx+1=0}（a∈R，b∈R），集合B={-1，1}．
（Ⅰ）若B⊆A，求實數a的值；
（Ⅱ）若A∩B≠∅，求a²-b²+2a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據題意，分析可得A={-1，1}，進而由韋達定理計算可得答案；
（Ⅱ）根據題意，分2種情況討論：1°若1∈A，分析可得a+b=-1，進而可得a²-b²+2a=（a+b）（a-b）+2a=-（a-b）+2a=a+b，即可得答案；2°若-1∈A，分析可得a-b=-1，進而可得a²-b²+2a=（a+b）（a-b）+2a=-（a+b）+2a=a-b，代入數據即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由于B⊆A，且B={-1，1}，
而集合A中最多有2個元素，故A={-1，1}；                 …（4分）
由韋達定理得：$\frac{1}{a}=1×（{-1}）∴a=-1$…（7分）
（Ⅱ）根據題意，分2種情況討論：
1°若1∈A，則a+b=-1，…（9分）
所以  a²-b²+2a=（a+b）（a-b）+2a=-（a-b）+2a=a+b=-1…（11分）
2°若-1∈A，則a-b=-1，…（13分）
所以a²-b²+2a=（a+b）（a-b）+2a=-（a+b）+2a=a-b=-1
綜上，a²-b²+2a=-1…（15分）

點評 本題考查集合的包含關系的運用，涉及集合交集的運算及意義，考查分類討論思想方法．