Question

17．已知圓C的圓心在直線x-3y=0上，且與y軸相切于點（0，1）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C與直線l：x-y+m=0交于A，B兩點，分別連接圓心C與A，B兩點，若CA⊥CB，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設圓心坐標為C（a，b），推出a=3b．利用切點坐標，求出圓心與半徑，然后求出圓的方程．
（Ⅱ）判斷△ABC為等腰直角三角形．利用點到直線的距離公式化簡求解即可．

解答 （本題滿分9分）
解：（Ⅰ）設圓心坐標為C（a，b），圓C的圓心在直線x-3y=0上，所以a=3b．
因為圓與y軸相切于點（0，1），則b=1，r=|a-0|．
所以圓C的圓心坐標為（3，1），r=3．
則圓C的方程為（x-3）²+（y-1）²=9．      …（5分）
（Ⅱ）因為CA⊥CB，|CA|=|CB|=r，所以△ABC為等腰直角三角形．
因為|CA|=|CB|=r=3，則圓心C到直線l的距離$d=\frac{3}{2}\sqrt{2}$．
則$d=\frac{|3-1+m|}{{\sqrt{1+1}}}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$，求得m=1或-5． …（9分）

點評 本題考查直線與圓的位置關系的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．