Question

16．已知函數f（x）=lnx-ax（a∈R）
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-lnx+2e^x，當g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上存在零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數f（x）=lnx-ax（a∈R）的導數，令導數大于0求出函數的增區間，令導數小于0，求出函數的減區間；
（Ⅱ）由2e^x-ax=0，令F（x）=$\frac{a}{2}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$，根據函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）函數的定義域是（0，+∞），
∵f（x）=lnx-ax，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
當a≤0時，f′（x）＞0，函數在定義域上是增函數；
當a＞0時，令導數為0解得x=$\frac{1}{a}$，
當x＞$\frac{1}{a}$時，導數為負，函數在（$\frac{1}{a}$，+∞）上是減函數，
當x＜$\frac{1}{a}$時，導數為正，函數在（0，$\frac{1}{a}$）上是增函數；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-lnx+2e^x=2e^x-ax=0
令F（x）=$\frac{a}{2}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$，則F′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$=0 可得x=1，
當x＞1時，F′（x）＞0，F（x）單調遞增；
當x＜1時，F′（x）＜0，F（x）單調遞減；
F（x）在x=1處取得最小值 F（1）=e，
 F（$\frac{1}{2}$）=2$\sqrt{e}$，F（2）=$\frac{{e}^{2}}{2}$，
∴a的取值范圍是[2e，e²]．

點評 本題考查用導數研究函數的單調性，解題的鍵是理解并掌握函數的導數的符號與函數的單調性的關系，此類題一般有兩類題型，一類是利用導數符號得出單調性，一類是由單調性得出導數的符號，本題屬于第一種類型．本題的第二小問是關于函數的零點問題，本題中由于參數的存在，導致導數的符號不定，故需要對參數的取值范圍進行討論．