Question

定義運算a⊕b=a²+2ab-b²，記函數f（x）=sinx⊕cosx
（Ⅰ）已知，且，求f（θ）的值；
（Ⅱ）在給定的直角坐標系中，用“五點法”作出函數f（x）在一個周期內的簡圖；
（Ⅲ）求函數f（x）的對稱中心、最大值及相應的x值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可得-----（2分）
∴--------（5分）
（Ⅱ）∵，運用“五點法”先列表后描點連線，

	0		π		2π
x
	0		0		0

作出函數f（x）在一個周期內的圖象如下，





（10分）
（Ⅲ）∵函數y=sinx的對稱中心為（kπ，0）（k∈Z），且當時，y_max=1
令，由，解得
∴函數f（x）的對稱中心為-------（12分）
當，即，-------（14分）
分析：（Ⅰ）由新定義可得函數的解析式，代入化切后計算可得答案；（Ⅱ）由五點法，列表、描點，連線可得圖象；（Ⅲ）函數y=sinx的對稱中心為（kπ，0）（k∈Z），且當時，y_max=1，把整體代入解之可得答案．
點評：本題考查五點作圖，涉及同角三角函數的基本關系和正弦函數的對稱性，屬中檔題．