Question

對于實數a和b，定義運算“*”a*b=

a2-ab，a＜b b2-ab，a＞b

設f（x）=（2x-1）*（x-1），且關于x的方程f（x）=a（a∈R）恰有三個互不相等的實數根，則實數a的取值范圍是（　　）

• A．[0，

  1

  4

  ]
• B．[0，

  1

  16

  ]
• C．（0，

  1

  4

  ]∪（1，+∞）
• D．（0，

  1

  4

  ）

Answer 1

分析：由新定義寫出分段函數f（x）=（2x-1）*（x-1）=

2x2-x，x＜0 -x2+x，x＞0

，然后作出分段函數的圖象，關于x的方程f（x）=a（a∈R）恰有三個互不相等的實數根，是指函數y=f（x）的圖象與y=a的圖象有3個不同的交點，數形結合可求實數a的取值范圍．

解答：解：由2x-1＜x-1得，x＜0．
由定義運算a*b=

a2-ab，a＜b b2-ab，a＞b

，
則f（x）=（2x-1）*（x-1）=

(2x-1)2-(2x-1)(x-1)，x＜0 (x-1)2-(2x-1)(x-1)，x＞0

=

2x2-x，x＜0 -x2+x，x＞0

函數f（x）=-x²+x （x＞0）的最大值是-(

1

2

)2+

1

2

=

1

4

．
函數f（x）的圖象如圖，

由圖象看出，關于x的方程f（x）=a（a∈R）恰有三個互不相等的實數根的實數a的取值范圍是（0，

1

4

）．
故選D．

點評：本題考查了函數零點的判斷，考查了分段函數的圖象，考查了數學轉化思想和數形結合思想，判斷一個方程根的個數，可以轉化為判斷兩個函數圖象交點的個數，是中檔題．