Question

已知函數f（x）=x²，設函數g（x）=-qf[f（x）]+（2q-1）f（x）+1，是否存在實數q（q＞0），使得g（x）在區間（-∞，-4）是減函數，且在區間（-4，0）上是增函數．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在實數q（q＜0），使得g（x）在區間（-∞，-4]上是減函數，且在區間（-4，0）（10）上是增函數，再利用復合函數的單調性，求出q的值，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答： 解：存在．
可設x²=t，則函數g（x）=-qf（x）+（2q-1）x²+1=-qt²+（2q-1）t+1，t≥0，
得其對稱軸為t=

2q-1

2q

，又q＜0，所以拋物線開口向上，
g（x）在區間（-∞，-4）上是減函數，且在（-4，0）上是增函數
所以t必須在區間（16，+∞）上是減函數，且在（0，16）上是增函數
又t=x²本身是增函數，那么對稱軸要等于16
即

2q-1

2q

=16，解得q=-

1

30

，
滿足（q＜0）的條件． 
所以存在實數q（q＜0），使得g（x）在區間（-∞，-4]上是減函數，且在區間（-4，0）（10）上是增函數．

點評：考查學生冪函數的性質掌握能力，函數奇偶性的判斷能力，以及函數單調性的應用能力．