Question

10．已知|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}$|≠0，且關于x的方程x²+|$\overrightarrow{a}$|x+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0有實根，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角的取值范圍是（　　）

• A． [0，$\frac{π}{6}$]
• B． [$\frac{π}{3}$，π]
• C． [$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
• D． [$\frac{π}{6}$，π]

Answer 1

分析 令判別式△≥0可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≤$\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{4}$，代入夾角公式得出cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞的范圍，從而得出向量夾角的范圍．

解答 解：∵關于x的方程x²+|$\overrightarrow{a}$|x+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0有實根，
∴|$\overrightarrow{a}$|²-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≥0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≤$\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{4}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$≤$\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{2}$，
又0≤＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞≤π，
∴$\frac{π}{3}≤$＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞≤π．
故選B．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，屬于中檔題．