Question

13．已知函數f（x）=x²-2x+2．
（1）求f（x）單調區(qū)間
（2）求f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，3]上的最大值和最小值；
（3）若g（x）=f（x）-mx在[2，4]上是單調函數，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數 的對稱軸，從而求出函數 的單調區(qū)間即可；
（2）根據f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[$\frac{1}{2}$，3]，再利用二次函數的性質求得f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，3]上的最值即可；
（3）根據g（x）=f（x）-mx=x²-（m+2）x+2在[2，4]上是單調函數，可得$\frac{m+2}{2}$≤2，或$\frac{m+2}{2}$≥4，由此求得m的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）的對稱軸是x=1，故函數f（x）在（-∞，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）∵f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[$\frac{1}{2}$，3]，
∴f（x）的最小值是f（1）=1，f（x）的最大值是f（3）=5，
即f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，3]上的最大值是5，最小值是1．
（3）∵g（x）=f（x）-mx=x²-（m+2）x+2
，∴$\frac{m+2}{2}$≤2，或$\frac{m+2}{2}$≥4，
解得m≤2或m≥6，
故m的取值范圍是（-∞，2]∪[6，+∞）．

點評 本題主要考查求二次函數在閉區(qū)間上的最值，二次函數的性質應用，屬于中檔題．