Question

已知橢圓的左焦點為,左、右頂點分別為,過點且傾斜角為的直線交橢圓于兩點,橢圓的離心率為,．

（1）求橢圓的方程；

（2）若是橢圓上不同兩點，軸，圓過點，且橢圓上任意一點都不在圓內，則稱圓為該橢圓的內切圓．問橢圓是否存在過點的內切圓？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）存在

【解析】

試題分析：（1）由離心率為，傾斜角為的直線交橢圓于兩點，.通過聯立直線方程與橢圓的方程，可求得的值.即可得結論.

（2）依題意可得符合要求的圓E，即為過點, 的三角形的外接圓.所以圓心在x軸上.根據題意寫出圓E的方程.由于圓的存在必須要符合，橢圓上的點到點距離的最小值是，結合圖形可得圓心E在線段上，半徑最小.又由于點F已知，即可求得結論.

試題解析：（1）因為離心率為，所以，

所以橢圓方程可化為：，直線的方程為， 2分

由方程組，得：,即, 4分

設，則， 5分

又，

所以，所以，橢圓方程是； 7分

（2）由橢圓的對稱性，可以設，點在軸上，設點，

則圓的方程為，

由內切圓定義知道，橢圓上的點到點距離的最小值是，

設點是橢圓上任意一點，則, 9分

當時，最小，所以① 10分

又圓過點，所以② 11分

點在橢圓上，所以③ 12分

由①②③解得：或，

又時，，不合，

綜上：橢圓存在符合條件的內切圓，點的坐標是． 13分

考點：1.待定系數求橢圓方程.2.函數的最值.3.方程的思想解決解決解幾問題.3.歸納化歸的思想.4.運算能力.