Question

已知a∈R，“實系數一元二次方程x²+ax+

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=0的兩根都是虛數”是“存在復數z同時滿足|z|=2且|z+a|=1”的（　　）條件．

• A、充分非必要
• B、必要非充分
• C、充分必要
• D、既非充分又非必要

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：x²+ax+

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=0的兩根都是虛數，說明該方程在實數范圍內無實根，復數模通常考慮其幾何意義解題．

解答： 解：∵實系數一元二次方程x²+ax+

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=0的兩根都是虛數，
∴△=a²-9＜0，∴-3＜a＜3；
又x²+y²=4表示以（0，0）為圓心，以2為半徑的圓；
而（x+a）²+y²=1是以（-a，0）為圓心，以1為半徑的圓．
可知復平面上的圓x²+y²=4和圓（x+a）²+y²=1有公共交點，
所以，實數a∈[-3，-1]∪[1，3]，
故選：D．

點評：實系數一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根都是虛數時，則方程無實根，即判別式△＜0．注意端點值的取舍．