Question

已知f（x）=

px-p

-lnx（p＞0）．
（1）如果f（x）在[1，+∞）上單調遞增，求p的取值范圍；
（2）設an=

2n+1

n

，求證：a₁+a₂+…+a_n≥2ln（n+1）．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用,等差數列與等比數列

分析：（1）先化簡f（x）=

px-p

-lnx=

p

x-1

-lnx，再求導f′（x）=

p

2 x-1

-

1

x

=

p x-2 x-1

2x x-1

；化條件為f′（x）≥0恒成立，從而求解；
（2）由題意可推出

x-1

≥lnx，對x≥1恒成立，從而可得a_n≥ln

(n+1)2

n2

，從而可證明．

解答： 解：（1）f（x）=

px-p

-lnx=

p

x-1

-lnx，
f′（x）=

p

2 x-1

-

1

x

=

p x-2 x-1

2x x-1

；
則當

x-1

=

1

p

，即x=1+

1

p

時，

p

x-2

x-1

有最小值，
則

p

（1+

1

p

）-2

1

p

≥0，
解得，p≥1；
（2）證明：由（1）知，f（x）=

x-1

-lnx是增函數，
所以f（x）≥f（1）=0，即

x-1

≥lnx，對x≥1恒成立．
∵a_n=

2n+1

n

=

(n+1)2 n2 -1

，
∴a_n≥ln

(n+1)2

n2

．
∴a₁+a₂+…+a_n
≥ln

22

12

+ln

32

22

+…+ln

(n+1)2

n2

=ln[

22

12

•

32

22

•…•

(n+1)2

n2

]
=ln（n+1）²=2ln（n+1）．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題的處理方法，從而利用放縮法證明．