Question

已知函數f（x）=2cos²x-2

3

sinxcosx．
（1）求函數f（x）的最小正周期及單調遞減區間；
（2）在△ABC中，若f（C）=-1，若sinA，sinC，sinB成等比數列，

CA

•（

AB

-

AC

）=18，求c的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,平面向量數量積的運算,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,解三角形,平面向量及應用

分析：（1）首先通過三角恒等變換，把函數變形成正弦型函數，進一步求出函數的最小正周期和單調區間．
（2）利用（1）的結論，先求出C的值，進一步利用向量的數量積和余弦定理及等比中項求出結果．

解答： 解：（1）函數f（x）=2cos²x-2

3

sinxcosx=cos2x-

3

sin2x+1
=2cos(2x+

π

3

)+1
∴T=

2π

2

=π．
令：2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π（k∈Z）．
解得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
函數的單調遞減區間為：x∈[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（2）由于f（x）=2cos(2x+

π

3

)+1
所以：f（C）=2cos(2C+

π

3

)+1=-1
解得：cos(2C+

π

3

)=-1，
由于：0＜C＜π，
所以：

π

3

＜2C+

π

3

＜

7π

3

，
解得：C=

π

3

．
由于：sinA，sinC，sinB成等比數列
所以：c²=ab
又

CA

•（

AB

-

AC

）=18
利用向量的數量積：b²-bccosA=18
整理得：a²+b²-c²=36
所以：ab=36
進一步求得：c=6

點評：本題考查的知識要點：三角函數的恒等變換，正弦型函數的周期和單調區間，向量的數量積，余弦定理的應用，等比數列的應用．屬于基礎題型．