Question

在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點，A₁D₁交平面B₁ED于F．
（1）指出F在A₁D₁上的位置，并說明理由；
（2）已知在△ABC中，角A，B，C所的邊長分別為a，b，c，則有以下結(jié)論成立：
若a²+b²＞c²，則∠C是銳角；
若a²+b²=c²，則∠C是直角；
若a²+b²＜c²，則∠C是鈍角；
試根據(jù)上述結(jié)論作出異面直線A₁C與DE所成的角，并判斷其是否為直角．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）作圖后（1）F在A₁D₁上的中點；只需證明四邊形B₁FDE為平行四邊形，即可．
（2）根據(jù)異面直線所成角的定義即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）F為A₁D₁上的中點．
證明如下：取A₁D₁上的中點F，連接DF，ED，
∵△B₁A₁F≌△DCE，△DD₁F≌△B₁BE，
∴B₁F=ED，B₁=FD，
∴四邊形B₁FDE為平行四邊形，
∴平面B₁ED交A₁D₁于A₁D₁的中點F
（2）延長AD到M，取DM=EC，
連結(jié)A₁M與CM，
則DE∥CM，
則CM與A₁C所成的角即可異面直線A₁C與DE所成的角，
∵正方體的棱長為2，
∴A₁C=2

3

，CM=

22+1

=

5

，A₁M=

22+32

=

13

，
∵CM²+A₁C²=17≠A₁M²，
∴異面直線A₁C與DE所成的角不是直角．

點評：本題主要考查異面直線所成角的定義，利用平行線轉(zhuǎn)化為平面角是解決本題的關(guān)鍵．