Question

已知曲線C上任意一點到兩定點O（0，0）和A（3，0）的距離之比為

|MO|

|MA|

=

1

2

，
（1）求曲線C的方程；
（2）過（0，2）點的直線l被曲線C截得的弦長為2

3

，求l的方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設M的坐標為（x，y），由題意動點M到定點O（0，0）和A（3，0）的距離之比為

|MO|

|MA|

=

1

2

，結合兩點間的距離，化簡整理得動點M軌跡C的方程；
（2）分類討論，利用點N的直線l被曲線C截得的弦長為2

3

，即可求直線l的方程．

解答： 解：（1）設M的坐標為（x，y），由題意，
∵動點M到定點O（0，0）和A（3，0）的距離之比為

|MO|

|MA|

=

1

2

，
∴

x2+y2

(x-3)2+y2

=

1

4

，
整理得x²+y²+2x-3=0；
（2）x²+y²+2x-3=0可化為（x+1）²+y²=4，
斜率不存在時，直線方程為x=0，y=±

3

，滿足題意；
斜率存在時，設方程為y=kx+2，
∵過（0，2）點的直線l被曲線C截得的弦長為2

3

，
∴圓心到直線的距離為1，
∴

|-k+2|

k2+1

=1，
∴k=

3

4

，
∴直線l的方程為y=

3

4

x+2．
綜上，直線l的方程為y=

3

4

x+2或x=0．

點評：本題考查直線的方程，注意結合題意，選擇直線方程的合適的形式，進行整理變形、求解．