Question

8．無錫市政府決定規劃地鐵三號線：該線起於惠山區惠山城鐵站，止於無錫新區碩放空港產業園內的無錫機場站，全長28公里，目前惠山城鐵站和無錫機場站兩個站點已經建好，余下的工程是在已經建好的站點之間鋪設軌道和等距離修建停靠站．經有關部門預算，修建一個停靠站的費用為6400萬元，鋪設距離為x公里的相鄰兩個停靠站之間的軌道費用為400x³+20x萬元．設余下工程的總費用為f（x）萬元．（停靠站位于軌道兩側，不影響軌道總長度）
（1）試將f（x）表示成x的函數；
（2）需要建多少個停靠站才能使工程費用最小，并求最小值．

Answer 1

分析 （1）先設需要修建k個停靠站，列出余下工程的總費用的函數表達式，再結合自變量x的實際意義：x表示相鄰兩停靠站之間的距離，確定出函數的定義域即可．
（2）依據（1）中得出的函數表達式，結合基本不等式即可求得函數y的最大值，最后回到原實際問題進行解答即可．

解答 解：（1）設需要修建k個停靠站，則k個停靠站將28公里的軌道分成相等的k+1段
∴$（k+1）x=28⇒k=\frac{28}{x}-1$…（3分）
∴$f（x）=6400k+（k+1）（400{x^3}+20x）=6400（\frac{28}{x}-1）+\frac{28}{x}（400{x^3}+20x）$
化簡得$f（x）=28×400{x^2}+\frac{28×6400}{x}-5840$…（7分）
（2）$f（x）≥28×400{x^2}+\frac{28×3200}{x}+\frac{28×3200}{x}-63722$$≥3\root{3}{{28×400{x^2}•\frac{28×3200}{x}•\frac{28×3200}{x}}}-6372=128028$（萬元）…（11分）
當且僅當$28×400{x^2}=\frac{28×3200}{x}$即x=2，$k=\frac{28}{x}-1=13$取“=”…（13分）
答：需要建13個停靠站才能使工程費用最小，最小值費用為128028萬元…（14分）

點評 本題考查解函數在生產實際中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．