Question

20．在平面直角坐標系xoy中，已知向量$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，sinx），0≤x≤π，且f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，求tanx的值；
（2）若$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為$\frac{π}{3}$，求x的值；
（3）求f（x）的單調區間和最值．

Answer 1

分析 （1）根據向量的垂直的條件和向量的數量積公式即可求出，
（2）根據向量的數量積公式即可求出，
（3）先化簡得到$f（x）=\sqrt{3}sin（x-\frac{π}{6}）$，再根據三角函數的性質即可求出

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，0≤x≤π
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{3}{2}$sinx=0，
∴tanx=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（2）∵$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，sinx），
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{3}{2}$sinx=|$\overrightarrow{m}$|•|$\overrightarrow{n}$|cos$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴sin（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或x-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$
∴$x=\frac{π}{3}或π$；
（3）∵$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，sinx），
∴$f（x）=\sqrt{3}sin（x-\frac{π}{6}）$，
∴f（x）的增區間$[0，\frac{2π}{3}）$，減區間$[\frac{2π}{3}，π]$；
∴$f{（x）_{max}}=f（\frac{2π}{3}）=\sqrt{3}$；$f{（x）_{min}}=f（0）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查了向量的數量積公式和向量的垂直以及三角函數的圖象和性質，屬于中檔題．