Question

【題目】設Sn是數列{an}的前n項和，且2an+Sn=An2+Bn+C．
（1）當A=B=0，C=1時，求an；
（2）若數列{an}為等差數列，且A=1，C=﹣2． ①設bn=2nan ， 求數列{bn}的前n項和；
②設cn= ，若不等式cn≥ 對任意n∈N*恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當A=B=0，C=1時，2an+Sn=1，

∴ ；

當n≥2時，2an﹣1+Sn﹣1=1，

兩式作差得：3an=2an﹣1，即 ，

∴數列{an}是以 為首項，以 為公比的等比數列，

∴

（2）解：當A=1，C=﹣2時，2an+Sn=n2+Bn﹣2，

∴ ， ， ，

∵數列{an}為等差數列，

∴ ，解得：B=4．

∴a1=1，a2=5，則d=4，

∴an=1+4（n﹣1）=4n﹣3，

① bn=2nan=（4n﹣3）2n，

∴數列{bn}的前n項和 ，

，

兩式作差得：

= =2﹣16+2n+3﹣（4n﹣3）2n+1，

∴ ；

②cn= = = ，

∵ 單調遞增，

∴當n=1時， 有最小值為 ，

∴ ，即m≤﹣14．

∴實數m的取值范圍是（﹣∞，﹣14]

【解析】（1）把A=B=0，C=1代入2an+Sn=An2+Bn+C，求得數列首項，進一步可得數列{an}是以 為首項，以 為公比的等比數列，則數列的通項公式可求；（2）①由已知求出B，得到數列{an}的通項公式，代入bn=2nan ， 利用錯位相減法求得數列{bn}的前n項和Tn；②把Tn代入cn= ，由函數的單調性求其最小值，由 小于等于cn的最小值求得m的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用等差數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和，掌握通項公式：或；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．