Question

19．已知{a_n}是等差數列，{b_n}是等比數列，S_n為數列{a_n}的前n項和，a₁=b₁=1，且b₃S₃=36，b₂S₂=8．
（1）求數列{a_n}和{b_n}通項公式；
（2）若a_n＜a_n+1，求數列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用數列的通項公式以及已知條件列出方程組，求出公差與公比，然后求解通項公式．
（2）利用錯位相減法轉化求解數列的和即可．

解答 解：（1）設{a_n}是公差為d的等差數列，{b_n}是公比為q的等比數列．
由題意$\left\{\begin{array}{l}{q^2}（3+3d）=36\\ q（2+d）=8\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}d=2\\ q=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}d=-\frac{2}{3}\\ q=6\end{array}\right.$，
所以a_n=2n-1，${b_n}={2^{n-1}}$或${a_n}=\frac{1}{3}（5-2n）$，${b_n}={6^{n-1}}$．
（2）若a_n＜a_n+1，由（1）知a_n=2n-1，
∴$\frac{1}{anan+1}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
∴${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+$…$+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查數列的遞推關系式的應用，數列求和，考查計算能力．