Question

如圖，在四面體中，平面平面，，，。
（Ⅰ）若，，求四面體的體積；
（Ⅱ）若二面角為，求異面直線與所成角的余弦值。（12分）

Answer 1

（1）；（2）.

第一問中，利用求解體積知道高和底面積即可。因為設F為AC的中點，由于AD=CD，所以，故由平面ABC平面ACD，知平面ABC，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，再利用由勾股定理易知，得到體積。
第二問中，設G、H分別為邊CD、BD的中點，則FG//AD，GH//BC，
從而是異面直線AD與BC所成的角或補角設E為邊AB的中點，則EF//BC，由知，又由（1）有平面ABC，故由三垂線定理知，
所以為二面角C—AB—D的平面角，由題設知，設AD=a，則，在中，
從而，因為，故，
從而，在中，，又，從而在中，因再利用余弦定理求解得到異面直線所成的角。
解：（I）如圖，設F為AC的中點，由于AD=CD，所以，
故由平面ABC平面ACD，知平面ABC，
即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，
且=1，……….2分，
，在中，
因，，
由勾股定理易知，
故四面體ABCD的體積………….4分
（II）如圖，設G、H分別為邊CD、BD的中點，則FG//AD，GH//BC，
從而是異面直線AD與BC所成的角或補角。……….6分，
設E為邊AB的中點，則EF//BC，由知，
又由（1）有平面ABC，故由三垂線定理知，
所以為二面角C—AB—D的平面角，
由題設知，……….8分，
設AD=a，則，在中，，
從而，因為，故，從而，在中，，又，從而在中，因，由余弦定理得，
因此，異面直線AD與BC所成角的余弦值為。…….12分