Question

14．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），直線l與拋物線C相交于A，B兩點，P為拋物線上一點，當直線l過拋物線焦點時，|AB|的最小值為2．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若AB的中點為（3，1），且直線PA，PB的傾斜角互補，求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當直線l過拋物線焦點時，|AB|的最小值為2，由此得到2p=2，從而能求出拋物線C的方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為x=my+n，代入拋物線方程得y²-2my-2n=0，利用韋達定理結合AB的中點為（3，1），求出m=1，從而直線l的方程為x=y+2，由此利用弦長公式、直線PA，PB的傾斜角互補、點到直線的距離公式，結合已知條件能求出△PAB的面積．

解答 解：（Ⅰ）∵拋物線C：y²=2px（p＞0），直線l與拋物線C相交于A，B兩點，P為拋物線上一點，
當直線l過拋物線焦點時，|AB|的最小值為2，
∴2p=2，解得p=1，
∴拋物線C的方程為y²=2x．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
設直線l的方程為x=my+n，代入拋物線方程得y²-2my-2n=0，
y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2n，
∵AB的中點為（3，1），∴2m=2，即m=1，
∴直線l的方程為x=y+2，
∴y₁+y₂=2，y₁y₂=-4，
∴|AB|=$\sqrt{2}•\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{{y}_{2}}^{\;}}$=2$\sqrt{10}$，
∵k_AP+k_BP=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}+\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$=$\frac{2}{{y}_{1}+{y}_{0}}+\frac{2}{{y}_{2}+{y}_{0}}$=0，
∴2y₀+y₁+y₂=0，∴y₀=-1，
∴P（$\frac{1}{2}，-1$），點P到直線l的距離d=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$，
∴△PAB的面積為$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查拋物線方程的求法，考查三角形面積的求法，考查拋物線、韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．