Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{x}^{2}，x≤1}\\{f（x-2）+\frac{1}{2}，x＞1}\end{array}\right.$若方程f（x）=a|x-1|，（a∈R）有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤0或a=3-$\sqrt{7}$或$\frac{1}{8}≤a＜\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=a（x-1）有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)1＜x≤3，則-1＜x-2≤1，f（x）=$-\frac{1}{2}（x-2）^{2}+\frac{1}{2}$，同理3＜x≤5，f（x）=$-\frac{1}{2}（x-4）^{2}+\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，
∵方程f（x）=a|x-1|，（a∈R）有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，
∴y=f（x）與y=a（x-1）有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
可知a≤0時(shí)滿足題意，
a＞0時(shí)，由$-\frac{1}{2}（x-4）^{2}+\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=a（x-1），可得x²+（2a-8）x-2a+14=0，
由△=（2a-8）²-4（-2a+14）=0，可得a=3-$\sqrt{7}$．
（5，$\frac{1}{2}$）代入y=a（x-1），可得a=$\frac{1}{8}$，（7，1）代入y=a（x-1），可得a=$\frac{1}{6}$，故$\frac{1}{8}≤a＜\frac{1}{6}$滿足題意，
∴若方程f（x）=a|x-1|，（a∈R）有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤0或a=3-$\sqrt{7}$或$\frac{1}{8}≤a＜\frac{1}{6}$．
故答案為a≤0或a=3-$\sqrt{7}$或$\frac{1}{8}≤a＜\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查方程根的研究，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，正確運(yùn)用函數(shù)的圖象是關(guān)鍵．