Question

15．已知函數$f（x）=lg（\frac{2a}{1+x}-1）（a＞0）$．求證：函數f（x）為奇函數的充要條件是a=1．

Answer 1

分析 分充分性、必要性進行論證，即可得到結論．

解答 證明：充分性：由a=1，函數f（x）=lg（ $\frac{2}{1+x}$-1）=lg $\frac{1-x}{1+x}$，
∵$\frac{1-x}{1+x}$＞0，∴-1＜x＜1，
又f（x）+f（-x）=lg $\frac{1-x}{1+x}$+lg $\frac{1+x}{1-x}$=lg1=0，
∴當a=1時，函數f（x）為奇函數，
必要性：由函數f（x）為奇函數，即f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）+f（-x）=lg（ $\frac{2a-1-x}{1+x}$）+lg（ $\frac{2a-1+x}{1-x}$）=0，
化簡得（2a-1）²=1，
∵a＞0，∴a=1，
∴當函數f（x）為奇函數時，a=1．

點評 本題考查充要性的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．