Question

15．已知函數(shù)y=f（x）滿足：對任意x，y∈R，有f（x-y）=f（x）-f（y），且當(dāng)x＞0時，f（x）＜0．
（1）判斷y=f（x）的奇偶性；
（2）求不等式f（x-1）＞f（3-2x）的解集．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，得f（0）=f（0）-f（0）=0，對f（x-y）=f（x）-f（y），取x=0，即可得出．
（2）x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂），當(dāng)x＜0時，-x＞0，f（-x）＜0，可得：f（x）=-f（-x）＞0，因此f（x₁-x₂）＞0，可得單調(diào)性，即可解出．

解答 解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）-f（0）=0，
對f（x-y）=f（x）-f（y），取x=0，得f（-y）=f（0）-f（y），即f（-y）=-f（y），
∴對任意x∈R，有f（-x）=-f（x），y=f（x）為奇函數(shù)．
（2）x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂），
∵當(dāng)x＜0時，-x＞0，f（-x）＜0，f（x）=-f（-x）＞0，
∴f（x₁-x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴y=f（x）在R上為減函數(shù)，
∴x-1＜3-2x，即$\left\{{x|x＜\frac{4}{3}}\right\}$．

點評 本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．