Question

已知函數.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數的單調區間；

（3）若對任意的都有恒成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【解析】

試題分析：（1）當時，，求出導函數，所以曲線在處的切線斜率，又，進而得出切線方程；

（2）易得函數的定義域為，對函數進行求導得，令并在定義域范圍內解之，即，再對其分和進行分類討論，求得函數的單調增區間，函數的單調增區間在定義域內的補集即為函數的單調減區間；

由題意得：對任意，使得恒成立，只需在區間內，，對進行分類討論，從而求出的取值范圍.

(1)時,

曲線在點處的切線方程

(2)

①當時, 恒成立,函數的遞增區間為

②當時,令,解得或（舍去）

x	( 0, )
f’(x)	-		+
f(x)	減		增

 

所以函數的遞增區間為,遞減區間為

(3)由題意知對任意的,,則只需對任意的,

①當時,在上是增函數,所以只需 ，而 ，所以滿足題意;

②當時,,在上是增函數, 所以只需

而， 所以滿足題意;

③當時,,在上是減函數,上是增函數,所以只需即可 ，而 ，從而不滿足題意;

綜合①②③實數的取值范圍為.

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的單調性；導數在最大值、最小值中的應用.