Question

若直線l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始終平分圓M：x²+y²+8x+2y+1=0的周長，則的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據題意可推斷出直線l過圓的直徑，利用圓的方程求得圓心坐標代入直線方程求得a和b的關系，然后把整理成（4a+b）（）的形式展開后利用基本不等式求得答案．
解答：解：整理圓的方程得（x+4）²+（y+1）²=16，
∴圓心坐標為（-4，-1）
∵直線l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始終平分圓M：x²+y²+8x+2y+1=0的周長
∴直線l過圓心，即-4a-b+1=0
∴4a+b=1
∴=（4a+b）（）=8++≥8+2=16（當且僅當=時等號成立．）
故答案為：16
點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用，直線與圓的位置關系．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．