Question

若直線l：ax+by+4=0（a＞0，b＞0）始終平分圓x²+y²+8x+2y+1=0，則ab的最大值為（　　）

• A、4
• B、2
• C、1
• D、

  1

  4

Answer 1

分析：由題意可得直線經過圓的圓心（-4，-1），4a+b=4，再利用基本不等式求得ab的最大值．

解答：解：∵直線ax+by+4=0（a＞0，b＞0）始終平分圓x²+y²+8x+2y+1=0，
∴直線經過圓的圓心（-4，-1），
則有-4a-b+4=0，即 4a+b=4，
由基本不等式可得，4a+b=4≥2

4ab

=4

ab

，
當且僅當2a=b=

1

2

時，取等號，由此可得ab≤1，
∴ab的最大值是1，
故選C．

點評：本題主要考查了直線和圓相交的性質，基本不等式的應用，解題的關鍵是直線平分圓的性質的應用，屬于中檔題．