Question

若直線l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始終平分圓M：x²+y²+8x+2y+1=0的周長，則

1

a

+

4

b

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)題意可推斷出直線l過圓的直徑，利用圓的方程求得圓心坐標代入直線方程求得a和b的關(guān)系，然后把

1

a

+

4

b

整理成（4a+b）（

1

a

+

4

b

）的形式展開后利用基本不等式求得答案．

解答：解：整理圓的方程得（x+4）²+（y+1）²=16，
∴圓心坐標為（-4，-1）
∵直線l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始終平分圓M：x²+y²+8x+2y+1=0的周長
∴直線l過圓心，即-4a-b+1=0
∴4a+b=1
∴

1

a

+

4

b

=（4a+b）（

1

a

+

4

b

）=8+

16a

b

+

b

a

≥8+2

16a b • b a

=16（當且僅當

16a

b

=

b

a

時等號成立．）
故答案為：16

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．