Question

10．函數f（x）=x³-ax在（1，3）上存在單調增區間，則a的取值范圍是（-∞，27），函數f（x）=x³-ax在（1，3）上單調增，則a的取值范圍是（-∞，3]．

Answer 1

分析 （1）問題轉化為存在f′（x）=3x²-a＞0在（1，3）成立，即存在a＜3x²在（1，3）成立，即a＜（3x²）_max=27，從而求出a的范圍即可；
（2）由函數f（x）=x³-ax在區間（1，3）上遞增，可得：f'（x）=3x²-a≥0在（1，3）上恒成立，即a≤3x²在（1，3）上恒成立，結合二次函數的圖象和性質，可得a的取值范圍．

解答 解：（1）若函數f（x）=x³-ax在（1，3）上存在單調增區間，
則存在f′（x）=3x²-a＞0在（1，3）成立，
即存在a＜3x²在（1，3）成立，
即a＜（3x²）_max=27，
故a的范圍是（-∞，27）；
（2）函數f（x）=x³-ax在區間（1，3）上單調遞增，
∴f'（x）=3x²-a≥0在（1，3）上恒成立，
∴a≤3x²在（1，3）上恒成立，
∴a≤3，
故a的取值范圍是（-∞，3]，
故答案為：（-∞，27），（-∞，3]．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．