Question

設a∈R，若函數(shù)y=e^ax+3x（x＞0）存在極值，則a取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：由題得eax=-

3

a

在（0，+∞）上有解，因為e^ax＞0所以-

3

a

＞0，所以a＜0．又因為x∈（0，+∞）且a＜0，所以0＜e^ax＜1，所以0＜-

3

a

＜1．所以a＜-3．

解答：解：由題意得y′=ae^ax+3
因為函數(shù)y=e^ax+3x（x＞0）存在極值
所以ae^ax+3=0在（0，+∞）上有解，
即eax=-

3

a

在（0，+∞）上有解，
因為e^ax＞0所以-

3

a

＞0
所以a＜0
又因為x∈（0，+∞）且a＜0
所以0＜e^ax＜1
所以0＜-

3

a

＜1
所以a＜-3
所以a取值范圍為（-∞，-3）．
故答案為：（-∞，-3）．

點評：本題借助于函數(shù)有極值考查方程的有解問題，解決此類問題的關鍵是根據(jù)題意把存在極值問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題，利用函數(shù)的值域求參數(shù)的范圍．