Question

已知f（x）=

px2+2

3x+q

是奇函數，且f（2）=

5

3

．
（1）求實數p，q的值；
（2）證明函數f（x）在（-∞，-1）上是單調增函數，并判斷f（x）在（1，+∞）上的單調性．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意知f（2）=

4p+2

6+q

=

5

3

，f（-2）=

4p+2

-6+q

=-

5

3

；從而解P，q；
（2）化簡f（x）=

2

3

x2+1

x

；求導f′（x）=

2

3

（1-

1

x2

）；從而證明函數的單調性，再由奇偶性判斷函數的單調性．

解答： 解：（1）∵f（x）=

px2+2

3x+q

是奇函數，
∴f（2）=

4p+2

6+q

=

5

3

；
f（-2）=

4p+2

-6+q

=-

5

3

；
聯立解得，p=2，q=0；
（2）證明：f（x）=

2

3

x2+1

x

；
f′（x）=

2

3

（1-

1

x2

）；
∵x∈（-∞，-1），
∴1-

1

x2

＞0，
∴f′（x）＞0；
故函數f（x）在（-∞，-1）上是單調增函數；
再由f（x）是奇函數知，
f（x）在（1，+∞）上單調遞增．

點評：本題考查了函數的性質的判斷與應用，屬于基礎題．