Question

已知在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P、Q、R分別是表面A₁B₁C₁D₁、BCC₁B₁、ABB₁A₁的中心，給出下列四個結論：
①PR與BQ是異面直線；
②RQ⊥平面BCC₁B₁；
③平面PQR∥平面D₁AC；
④過P、Q、R的平面截該正方體所得的截面是邊長為

2

的等邊三角形．
以上結論中正確的是

 

．（寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：畫出正方體，找出各線面，然后充分利用正方體的性質解答．

解答： 解：如圖
①PR與BQ是異面直線錯誤；因為點P、Q、R分別是表面A₁B₁C₁D₁、BCC₁B₁、ABB₁A₁的中心，所以在△A₁BC₁
中，P，R分別是A₁B，A₁C₁的中點，所以PR∥BQ；
②RQ⊥平面BCC₁B₁錯誤；與①同理可得RQ∥AC，所以RQ與平面BCC₁B₁所成的角是角ACB為45°；
③平面PQR∥平面D₁AC正確；因為與①同理得到RQ∥AC．PR∥AD₁；所以③正確；
④過P、Q、R的平面截該正方體所得的截面是邊長為

2

的等邊三角形．錯誤；
因為正方體的棱長為1，所以AC=

2

，又點P、Q、R分別是表面A₁B₁C₁D₁、BCC₁B₁、ABB₁A₁的中心，所以RQ=

1

2

AC=

2

2

，同理得到PR=PQ=

2

2

，故④錯誤．
故答案為：③

點評：本題考查了正方體的性質以及直線與直線，線與面的關系；關鍵是正確利用正方體的性質以及有關的線面關系定理解答．