Question

6．設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=2，a_n+1=2S_n+2（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{（{a}_{n}+2）•（{a}_{n+1}+2）}{{a}_{n}}$，數列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n項和為T_n，試證明：T_n＜$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 （1）根據數列的項和和之間的關系，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）b_n=$\frac{（{a}_{n}+2）•（{a}_{n+1}+2）}{{a}_{n}}$=$\frac{2（{3}^{n-1}+1）（{3}^{n}+1）}{{3}^{n-1}}$，$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{4}×（\frac{1}{{3}^{n-1}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1}）$，累加即可求數列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n項和為T_n

解答 解：（1）由題意得a_n+1=2S_n+2，a_n=2S_n-1+2，（n≥2），
兩式相減得a_n+1-a_n=2S_n-2S_n-1=2a_n，
則a_n+1=3a_n，n≥2，
所以當n≥2時，{a_n}是以3為公比的等比數列．
因為a₂=2S₁+2=4+2=6，滿足$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=3$對任意正整數成立　{a_n}是首項為2，公比為3的等比數列，
∴數列{a_n}的通項公式；a_n=2×3^n-1
（2）證明：b_n=$\frac{（{a}_{n}+2）•（{a}_{n+1}+2）}{{a}_{n}}$=$\frac{2（{3}^{n-1}+1）（{3}^{n}+1）}{{3}^{n-1}}$，
 $\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{4}×（\frac{1}{{3}^{n-1}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1}）$，
T_n=$\frac{1}{4}$×[$\frac{1}{{3}^{0}+1}-\frac{1}{{3}^{1}+1}+\frac{1}{{3}^{1}+1}-\frac{1}{{3}^{2}+1}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1}$]
=$\frac{1}{4}×（\frac{1}{{3}^{0}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1}）=\frac{1}{8}-\frac{1}{4（{3}^{n}+1）}$＜$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查了數列的遞推式，裂項求和，屬于中檔題．