Question

14．若數列{a_n}滿足a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$（n∈N^*，n≥3），a₁=2，a₅=$\frac{1}{3}$，則a₂₀₁₆等于$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由題意求出數列的周期，得到a₂₀₁₆=a₆，從而求出答案．

解答 解：a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$（n∈N^*，n≥3），
∴a₃=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$，即$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴a₄=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{2}$
∴a₅=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$，即a₃=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{5}}$=$\frac{3}{2}$，
∴a₂=3，
∴a₆=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=$\frac{2}{3}$，
∴a₇=$\frac{{a}_{6}}{{a}_{5}}$=2，a₈=3，
故周期是6，2016÷6=336，
∴a₂₀₁₆=a₆=$\frac{2}{3}$，
故答案為：$\frac{2}{3}$

點評 本題考查了數列的遞推公式，找出規律是解題的關鍵，本題是一道基礎題．