Question

10．在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，猜想這個數列的通項公式是${a}_{n}={2}^{n}-1$．

Answer 1

分析 推導出{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數列，由此能求出這個數列的通項公式．

解答 解：∵在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），即$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}=2$，
∵a₁+1=2，∴{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數列，
∴${a}_{n}+1=2×{2}^{n-1}={2}^{n}$，
∴${a}_{n}={2}^{n}-1$．
故答案為：${a}_{n}={2}^{n}-1$．

點評 本查題考查數列的通項公式的求法，考查等比數列、構造法等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．