Question

【題目】已知函數 .

（1）求函數的單調遞增區間；

（2）討論函數零點的個數.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）當或時，函數有一個零點，當且時，函數有兩個零點.

【解析】試題分析：

（1）分類討論：當時，的定義域為，，令得：，，則的單調遞增區間為.當時，的定義域為，，當時，的單調增區間為，當時， .的單調遞增區間為和.

（2）由（1）知當時，只有一個零點，

當時，在處取極大值，處取極小值.，，即時，函數只有一個零點，

當時，令在單調遞減，在單調遞增，（當且僅當時，等號成立），則：

時，在有兩個零點.時，在有兩個零點.時，函數在有一個零點.故當或時，函數有一個零點，當且時，函數有兩個零點.

試題解析：

（1）當時，的定義域為，

，令得：

，，

∴的單調遞增區間為.

當時，的定義域為， ，

當即時，的單調增區間為，

當，即時， .

的單調遞增區間為和.

（2）由（1）知當時，在內單調遞增，，

故只有一個零點，

當時，在處取極大值，處取極小值.

由知，而，則，

，

∵，∴，∴，

∴當時，函數只有一個零點，

當時，

令，

，在單調遞減，在單調遞增，

，∴（當且僅當時，等號成立），

i）時，

，，，

由（1）函數單調性知，，所以函數在存在零點，

∴在有兩個零點.

ii）時，

，，，

同理可得函數在存在零點，

∴在有兩個零點.

iii）時，

，函數在有一個零點.

綜上所述：

當或時，函數有一個零點，

當且時，函數有兩個零點.