Question

【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)存在兩個極值點且滿足，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）求出，分五種情況討論的范圍，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）由(1)可知，，不等式化為，令，則，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明當(dāng)時，不等式不成立，當(dāng)時，可證明，適量題意，即.

試題解析：(1)定義域為，

，

當(dāng)或時，恒成立，

當(dāng)時，由得或，

于是結(jié)合函數(shù)定義域的分析可得：

當(dāng)時，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)；

當(dāng)時，函數(shù)定義域為，此時有，

于是在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

當(dāng)時，函數(shù)定義域為，

于是在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

當(dāng)時，函數(shù)定義域為，此時有，

于是在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

當(dāng)時，函數(shù)定義域為，

于是在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù).

(2)由(1)知存在兩個極值點時，的取值范圍是，

由(1)可知，，

；

不等式化為，

令，所以，

令，，

當(dāng)時，，，，所以，不合題意；

當(dāng)時，，，

所以在上是減函數(shù)，所以，適量題意，即.

綜上，若，此時正數(shù)的取值范圍是.