Question

正四棱錐P-ABCD的底面為邊長為

2

的正方形，高為1．則此四棱錐的兩個相鄰側面所成的二面角的余弦值為

 

．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：設AC，BD交于點O，以OB為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出四棱錐的兩個相鄰側面所成的二面角的余弦值．

解答： 解：設AC，BD交于點O，
以OB為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，
則由題意，得：P（0，0，1），B（1，0，0），
C（0，1，0），D（-1，0，0），

PB

=（1，0，-1），

PC

=（0，1，-1），

PD

=（-1，0，-1），
設平面PBC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • PB =x-z=0 n • PC =y-z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，1），
設平面PCD的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • PC =b-c=0 m • PD =-a-c=0

，取a=1，得

m

=（1，-1，-1），
∵cos＜

m

，

n

＞=

1-1-1

3 × 3

=-

1

3

，
四棱錐的兩個相鄰側面所成的二面角為鈍解角，
∴四棱錐的兩個相鄰側面所成的二面角的余弦值為-

1

3

．
故答案為：-

1

3

．

點評：本題考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．